Mamy trzy zbiorniki A, B i C połączone jak na Rys. 1. Zbiornik A zawiera 60 litrów roztworu, w którym rozpuszczono 30 kg soli, natomiast zbiorniki B i C zawierają czystą wodę. Zbiornik A zasilany jest czystą wodą wlewaną z prędkością v1=4 l/min. Ze zbiornika A do B następuje przepływ z prędkością v2=6 l/min, a ze zbiornika B do A z prędkością v3=2 l/min. Ze zbiornika B do C następuje przepływ z prędkością v4=6 l/min, a ze zbiornika C do B z prędkością v5=2 l/min. Ponadto ze zbiornika C wydalany jest roztwór z prędkością v6=4 l/min. Przyjmuje się, że ciecze mieszają się natychmiastowo, czyli stężenie soli w każdej części zbiornika jest takie samo. Określić ilość soli (w kilogramach) w zbiornikach A, B i C w zależności od czasu.

Rozwiązanie
Niech \( \hskip 0.5pc x_A(t),\hskip 0.5pc x_B(t)\hskip 0.5pc x_C(t)\hskip 0.5pc \) oznacza ilość solii odpowiednio w zbiornikach A, B i C w chwili t.
Wtedy \( \hskip 0.5pc x_A^\prime(t),\hskip 0.5pc x_B^\prime(t)\hskip 0.5pc x_C^\prime(t)\hskip 0.5pc \) oznacza szybkość zmiany ilości soli odpowiednio w zbiornikach A, B i C.
W chwili t do zbiornika A wpływa \( \hskip 0.3pc 2\frac {x_B(t)}{60} kg/min \hskip 0.3pc \) i wypływa \( \hskip 0.3pc 6\frac {x_A(t)}{60} kg/min \hskip 0.3pc \) soli.
Zatem przebieg procesu w zbiorniku A można opisać równaniem

Analogicznie, w chwili t do zbiornika B wpływa \( \hskip 0.3pc 6\frac {x_A(t)}{60} + 2\frac {x_C(t)}{60} kg/min \hskip 0.3pc \) soli i jednocześnie wypływa z niego \( \hskip 0.3pc 6\frac {x_B(t)}{60} + 2\frac {x_B(t)}{60} kg/min \hskip 0.3pc \) soli.
W zbiorniku B przebieg procesu można zatem opisać równaniem

Podobnie jak wcześniej, do zbiornika C wpływa \( \hskip 0.3pc 6\frac {x_B(t)}{60} kg/min \hskip 0.3pc \) soli i wypływa \( \hskip 0.3pc 6\frac {x_C(t)}{60} kg/min \hskip 0.3pc \) soli.
W związku z powyższym przebieg procesu w zbiorniku C opisany jest równaniem

Ponadto, mamy następujący warunek początkowy Zatem zawartość soli w poszczególnych zbiornikach opisana jest następującym układem równań: z warunkiem początkowym ( 1 ). Wartościami własnymi macierzy układu są liczby: \( \hskip 0.3pc \lambda_1=-\frac{1}{5},\hskip 0.3pc \lambda_2=-\frac{1}{10},\hskip 0.3pc\lambda_3=-\frac{1}{30,} \) a odpowiadające im wektory własne są następujące: \( \hskip 0.3pc v_1=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}\\-1\\1\end{bmatrix},\hskip 0.3pc v_2=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3}\\0\\1\end{bmatrix},\hskip 0.3pc v_3=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\1\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \)

Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 2 ) ma postać:

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe.

Uwzględniając warunek początkowy ( 1 ) otrzymujemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc x_A(t),\hskip 0.3pc x_B(t),\hskip 0.3 pc x_C(t)\hskip 0.3pc \) określone są wzorami:

Rozważmy obwód elektryczny jak na Rys. 2 skłądający się z dwóch cewek o indukcyjności \( \hskip 0.3pc L_1=L_2=1 [H]\hskip 0.3pc \) oraz dwóch oporników \( R_1=8 [\Omega], \hskip 0.3pc R_2=3 [\Omega]\hskip 0.3pc \) i prądu zmiennego którego siła elektromotoryczna zmiennia sie zgodnie z zależnością \( \hskip 0.3pc E(t)=100 \sin t [V].\hskip 0.3pc \) Wyznaczyć natężenia prądów \( \hskip 0.3pc i_2(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc i_3(t)\hskip 0.3pc \) po zamknięciu klucza K.

Rozwiązanie
Z pierwszego prawa Kirchhoffa wynika zależność

Z drugiego prawa Kirchhoffa dla oczka ABEFA otrzymujemy zależność

zaś dla oczka BCDEB

Z równości ( 3 ), ( 4 ) i ( 5 ) po podstawieniu za \( \hskip 0.3pc L_1,\hskip 0.3pc L_2,\hskip 0.3pc R_1,\hskip 0.3pc R_2\hskip 0.3pc \)i \( \hskip 0.3pc E(t)\hskip 0.3pc \) podanych wartości, otrzymujemy następujący układ równań ze względu na zmienne \( \hskip 0.3pc i_2(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc i_3(t)\hskip 0.3pc \)

z warunkiem początkowym

Macierz układu ( 6 ) ma wartości własne \( \hskip 0.3pc \lambda_1=-12,\hskip 0.3pc \lambda_2=-2\hskip 0.3pc \) i wówczas odpowiadające im wektory własne są następujące: \( \hskip 0.3pc v_1=\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix},\hskip 0.3pc v_2=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}. \) Zatem rozwiązanie ogólne układ jednorodnego ma postać: gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe.

Rozwiązania szczególnego równania ( 6 ) szukamy w następującej postaci

Po podstawieniu powyższej funkcji do równania ( 6 ) i wyliczeniu \( \hskip 0.3pc a_1,\hskip 0.3pc a_2,\hskip 0.3pc b_1,\hskip 0.3pc b_2,\hskip 0.3pc \) otrzymujemy Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 6 ) jest następujące

Uwzględniając warunek początkowy ( 7 ) rozwiązaniem układu ( 6 ) są funkcje \( \hskip 0.3pc i_2(t),\hskip 0.3pc i_3(t),\hskip 0.3pc \) określone wzorami:

Mamy dwie masy \( \hskip 0.3pc m_1=m_2=1 kg\hskip 0.3pc \) połączone trzema sprężynami o stałych sprężystościach \( \hskip 0.3pc k_1=k_2=k_3=1 N/m,\hskip 0.3pc \) tak jak na Rys. 3. Niech \( \hskip 0.3pc x_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc x_2(t)\hskip 0.3pc \) określają położenie poszczególnych mas w stosunku do położenia równowagi, mają wartość dodatnią, gdy wychylenie jest na prawo i ujemną, gdy wychylenie jest na lewo. Drgania powyższego układu opisane są następującym układem równań

W postaci macierzowej powyższy układ można zapisać następująco:

gdzie

Jeżeli wprowadzimy nowe zmienne

to układ ( 9 ) można zapisać w postaci układu liniowego jednorodnego rzędu pierwszego:

Podstawiając za \( \hskip 0.3pc m_1,\hskip 0.3pc m_2,\hskip 0.3pc k_1,\hskip 0.3pc k_2,\hskip 0.3pc k_3 \hskip 0.3pc \) wartości liczbowe, otrzymujemy następujący układ

równań:

Macierz powyższego układu

ma wartości własne \( \hskip 0.3pc \lambda_1=i\sqrt {3},\hskip 0.3pc \lambda_2=-i\sqrt {3},\hskip 0.3pc \lambda_3=i ,\hskip 0.3pc \lambda_4=-i\hskip 0.3pc \)

i odpowiadające im wektory własne są następujące: \( \hskip 0.3pc v_1=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}i\\-\frac{1}{\sqrt{3}}i \\ -1\\1\end{bmatrix},\hskip 0.3pc v_2=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{3}}i\\\frac{1}{\sqrt{3}}i \\ -1\\1\end{bmatrix},\hskip 0.3pc v_3=\begin{bmatrix}-i\\-i\\1\\1\end{bmatrix}, \hskip 0.3pc v_4=\begin{bmatrix}i\\i\\1\\1\end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \)
Na pdstawie zależności (3) i (4) z (Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste) następujące funkcje

stanowią układ fundamentalny rozwiązań dla układu równań ( 11 ). Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 11 ) jest postaci:

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc c_3,\hskip 0.3pc c_4 \hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi. Stąd wynika, że rozwiązanie układu ( 8 ) ma postać: